Omega Position – a specific phase of perceiving the notion of infinity

Jiří Cihlář; Petr Eisenmann; Magdalena Krátká

doi:10.14712/18047106.184

Vol 6 No 2 (2015): sciED Výzkumné stati

Pozice Omega – specifická fáze vnímání pojmu nekonečno

Jiří Cihlář, ¹ Petr Eisenmann, ¹ Magdalena Krátká, ¹

Katedra matematiky PřF UJEP

DOI: https://doi.org/10.14712/18047106.184

PDF (angličtina)

Jak citovat

Cihlář, J., Eisenmann, P., & Krátká, M. (2015). Pozice Omega – specifická fáze vnímání pojmu nekonečno. Scientia in educatione, 6(2), 51-73. https://doi.org/10.14712/18047106.184

Stánhout citace

Abstrakt

Článek popisuje specifickou fázi ontogenetického vývoje porozumění nekonečnu nazývanou pozice omega, jejíž identifikace je jedním z výsledků rozsáhlého výzkumu zaměřeného na vnímání pojmu nekonečno. Prvních dvou částí výzkumu se v letech 2008 až 2011 postupně zúčastnilo celkem 1 432 českých žáků a studentů ve věku od 8 do 20 let. V článku je podrobně popsána závěrečná kvalitativní část výzkumu zaměřená na interview s vysokoškolskými studenty s cílem diagnostikovat tuto fázi v jejich pojetí nekonečna v různých kontextech. Článek popisuje možnosti identifikace pozice omega a její konsekvence pro úspěšné studium těch pojmů a idejí matematiky, které jsou spjaty s nekonečnem. Dává ji dále do souvislosti s potenciálním a aktuálním nekonečnem, vymezuje jednotlivé vývojové fáze pomocí pojmu horizont a vysvětluje možnosti vzájemného ovlivňování zmíněných vývojových fází s využitím pojmů primární a sekundární intuice.

Reference

Bauer, L. (2011). Mathematik, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu 0.¯9. Journal für Mathematik-Didaktik, 32(1), 79–102. Vyhledej v Google Scholar
Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques, 1970–1990. Boston: Kluwer Academic Publishers. Vyhledej v Google Scholar
Brousseau, G. & Sarrazy, B. (2002). Glossaire de quelques concepts de la théorie des situations didactiques en mathématiques. Bordeaux: DAEST, Université Bordeaux 2. Vyhledej v Google Scholar
Brown, T. & Heywood, D. (2010). Geometry, subjectivity and the seduction of language: the regulation of spatial perception. Educational Studies in Mathematics, 77, 351–367. Vyhledej v Google Scholar
Cihlář, J., Eisenmann, P. & Krátká, M. (2013). Forming the infinity concept through overcoming obstacles. Ústí nad Labem: UJEP. Vyhledej v Google Scholar
Cihlář, J., Eisenmann, P., Krátká, M. & Vopěnka, P. (2009). Cognitive conflict as a tool of overcoming obstacles in understanding infinity. Teaching Mathematics and Computer Science, 7, 279–295. Vyhledej v Google Scholar
Conway, J. H. (2001). On numbers and games. London: Academic Press, 1976. Second edition: A. K. Peters, Wellesley/MA. Vyhledej v Google Scholar
Dubinsky, E., Weller, K., McDonald, M. A. & Brown, A. (2005a). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An APOS-Based Analysis, Part 1. Educational Studies in Mathematics, 58, 335–359. Vyhledej v Google Scholar
Dubinsky, E., Weller, K., McDonald, M. A. & Brown, A. (2005b). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An APOS-Based Analysis, Part 2. Educational Studies in Mathematics, 60, 253–266. Vyhledej v Google Scholar
Edwards, B. S., Dubinsky, E. & McDonald, M. A. (2005). Advanced mathematical thinking. Mathematical Thinking and Learning, 7, 15–25. Vyhledej v Google Scholar
Ely, R. (2010). Nonstandard student conceptions about infinitesimals. Journal for Research in Mathematics Education, 41, 117–146. Vyhledej v Google Scholar
Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics. Dodrecht: Reidel. Vyhledej v Google Scholar
Fischbein, E. (2001). Tacit models and infinity. Educational Studies in Mathematics, 48, 309–329. Scientia in educatione 71 6(2), 2015, p. 51–73 Vyhledej v Google Scholar
Hannula, M., Pehkonen, E., Maijala, H. & Soro, R. (2006). Students’ understanding of infinity. In Teaching mathematics: retrospective and perspectives. Proceedings of the 7th international conference (79–83). Tartu: Eritrea. Vyhledej v Google Scholar
Jahnke, H. N. (2001). Cantor’s cardinal and ordinal infinities: An epistemological and didactic view. Educational Studies in Mathematics, 48, 175–197. Vyhledej v Google Scholar
Jirotková, D. & Littler, G. (2004). An insight into pupils’ understanding of infinity in a geometrical context. In Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (97–104), Bergen: Univ. College. Vyhledej v Google Scholar
Juter, K. (2006). Limits of functions as they developed through time and as students learn them today. Mathematical Thinking and Learning, 8, 407–431. Vyhledej v Google Scholar
Katz, K. U. & Katz, M. G. (2010). Zooming in on infinitesimal 1–.9. . . in a post-triumvirate era. Educational Studies in Mathematics, 74, 259–273. Vyhledej v Google Scholar
Katz, V., Dorier, J. L., Bekken, O. & Sierpinska, A. (2000). The role of historical analysis in predicting and interpreting students’ difficulties in mathematics. In J. Fauvel & J. V. Maanen (Eds.), History in Mathematics Education (149–161). Dordrecht: Kluwer Academic Publisher. Vyhledej v Google Scholar
Kidron, I. (2011). Tacit models, treasured intuitions and the discrete — continuous interplay. Educational Studies in Mathematics, 78, 109–126. Vyhledej v Google Scholar
Kidron, I. & Tall, D. (2015). The roles of visualization and symbolism in the potential and actual infinity of the limit process. Educational Studies in Mathematics, 88, 183–199. Vyhledej v Google Scholar
Krátká, M. (2005). A geometrical picture as an obstacle. In Proceedings of SEMT’05 (179–186). Praha: UK PedF. Vyhledej v Google Scholar
Krátká, M. (2010). Zdroje epistemologických překážek v porozumění nekonečnu. Scientia in educatione, 1(1), 187–100. Vyhledej v Google Scholar
Monaghan, J. (2001). Young people’s ideas of infinity. Educational Studies in Mathematics, 48, 239–257. Vyhledej v Google Scholar
Piaget, J. (1977). The development of thought: Equilibration of cognitive structures. New York: The Viking Press. Vyhledej v Google Scholar
Radford, L., Boero, P., & Vasco, C. (2000). Historical formation and student understanding of mathematics: Epistemological assumptions framing interpretations of students understanding of mathematics. In J. Fauvel & J. Van Maanen (Eds.), History in mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher. Vyhledej v Google Scholar
Robinson, A. (1996). Nonstandard analysis. Princeton University Press. Vyhledej v Google Scholar
Sierpinska, A. (1994). Understanding in mathematics. Washington, D.C.: The Falmer Press London. Vyhledej v Google Scholar
Singer, F. M. & Voica, C. (2008). Between perception and intuition: Learning about infinity. The Journal of Mathematical Behavior, 27, 188–205. Vyhledej v Google Scholar
Swan, M. (1983). Teaching decimal place value. A comparative study of conflict and positive only approaches. Nottingham: University of Nottingham, Shell Centre for Mathematical Education. Vyhledej v Google Scholar
Tall, D. O. (1976). Conflicts and catastrophes in the learning of mathematics, Mathematical Education for Teaching, 2(4), 2–18. Vyhledej v Google Scholar
Tall, D. O. (1977). Cognitive conflicts and the learning of mathematics. In Proceedings of PME 1, Utrecht. Vyhledej v Google Scholar
Tall, D. O. (1991). The psychology of advanced mathematical thinking. In D. Tall (Ed.), Mathematics Education Library: Vol. 11 Advanced Mathematical Thinking (3–21). Dordrecht: Kluwer Academic Publisher. Vyhledej v Google Scholar
Tall, D. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics, 48, 199–238. Vyhledej v Google Scholar
Tall, D. O. (2009). Dynamic mathematics and the blending of knowledge structures in the calculus. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 41, 481–492. Vyhledej v Google Scholar
Tall, D. & Tirosh, D. (2001). Infinity — the never-ending struggle. Educational Studies in Mathematics, 48, 129–136. Vyhledej v Google Scholar
Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limit and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151–169. Vyhledej v Google Scholar
Tsamir, P. (2001). When “The Same” is not perceived as such: The case of infinity sets. Educational Studies in Mathematics, 48, 289–307. Vyhledej v Google Scholar
Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set of rational numbers: a conceptual chase approach. Learning and Instruction, 14, 453–467. Vyhledej v Google Scholar
Vopěnka, P. (2011). Velká iluze matematiky XX. století a nové základy. Plzeň: Vydavatelství Západočeské univerzity v Plzni. Vyhledej v Google Scholar
Yopp, D. A., Burroughs, E. A. & Lindaman, B. J. (2011). Why it is important for in-service elementary mathematics teachers to understand the equality .999 . . . = 1. Journal of Mathematical Behavior, 30, 304–318. Vyhledej v Google Scholar

Licence

Autoři, kteří publikují v tomto časopise, souhlasí s následujícími body:

Autoři si ponechávají copyright a garantují časopisu právo prvního publikování, přitom je práce zároveň licencována pod Creative Commons Attribution licencí, která umožňuje ostatním sdílet tuto práci s tím, že přiznají jejího autora a první publikování v tomto časopisu.
Autoři mohou vstupovat do dalších samostatných smluvních dohod pro neexkluzivní šíření práce ve verzi, ve které byla publikována v časopise (například publikovat ji v knize), avšak s tím, že přiznají její první publikování v tomto časopisu.
Autorům je dovoleno a doporučováno, aby zpřístupnili svou práci online (například na svých webových stránkách) před a v průběhu redakčního řízení jejich příspěvku, protože takový postup může vést k produktivním výměnám názorů a také dřívější a vyšší citovanosti publikované práce (Viz Efekt otevřeného přístupu).

[1] Bauer, L. (2011). Mathematik, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu 0.¯9. Journal für Mathematik-Didaktik, 32(1), 79–102. Vyhledej v Google Scholar

[2] Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques, 1970–1990. Boston: Kluwer Academic Publishers. Vyhledej v Google Scholar

[3] Brousseau, G. & Sarrazy, B. (2002). Glossaire de quelques concepts de la théorie des situations didactiques en mathématiques. Bordeaux: DAEST, Université Bordeaux 2. Vyhledej v Google Scholar

[4] Brown, T. & Heywood, D. (2010). Geometry, subjectivity and the seduction of language: the regulation of spatial perception. Educational Studies in Mathematics, 77, 351–367. Vyhledej v Google Scholar

[5] Cihlář, J., Eisenmann, P. & Krátká, M. (2013). Forming the infinity concept through overcoming obstacles. Ústí nad Labem: UJEP. Vyhledej v Google Scholar

[6] Cihlář, J., Eisenmann, P., Krátká, M. & Vopěnka, P. (2009). Cognitive conflict as a tool of overcoming obstacles in understanding infinity. Teaching Mathematics and Computer Science, 7, 279–295. Vyhledej v Google Scholar

[7] Conway, J. H. (2001). On numbers and games. London: Academic Press, 1976. Second edition: A. K. Peters, Wellesley/MA. Vyhledej v Google Scholar

[8] Dubinsky, E., Weller, K., McDonald, M. A. & Brown, A. (2005a). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An APOS-Based Analysis, Part 1. Educational Studies in Mathematics, 58, 335–359. Vyhledej v Google Scholar

[9] Dubinsky, E., Weller, K., McDonald, M. A. & Brown, A. (2005b). Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: An APOS-Based Analysis, Part 2. Educational Studies in Mathematics, 60, 253–266. Vyhledej v Google Scholar

[10] Edwards, B. S., Dubinsky, E. & McDonald, M. A. (2005). Advanced mathematical thinking. Mathematical Thinking and Learning, 7, 15–25. Vyhledej v Google Scholar

[11] Ely, R. (2010). Nonstandard student conceptions about infinitesimals. Journal for Research in Mathematics Education, 41, 117–146. Vyhledej v Google Scholar

[12] Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics. Dodrecht: Reidel. Vyhledej v Google Scholar

[13] Fischbein, E. (2001). Tacit models and infinity. Educational Studies in Mathematics, 48, 309–329. Scientia in educatione 71 6(2), 2015, p. 51–73 Vyhledej v Google Scholar

[14] Hannula, M., Pehkonen, E., Maijala, H. & Soro, R. (2006). Students’ understanding of infinity. In Teaching mathematics: retrospective and perspectives. Proceedings of the 7th international conference (79–83). Tartu: Eritrea. Vyhledej v Google Scholar

[15] Jahnke, H. N. (2001). Cantor’s cardinal and ordinal infinities: An epistemological and didactic view. Educational Studies in Mathematics, 48, 175–197. Vyhledej v Google Scholar

[16] Jirotková, D. & Littler, G. (2004). An insight into pupils’ understanding of infinity in a geometrical context. In Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (97–104), Bergen: Univ. College. Vyhledej v Google Scholar

[17] Juter, K. (2006). Limits of functions as they developed through time and as students learn them today. Mathematical Thinking and Learning, 8, 407–431. Vyhledej v Google Scholar

[18] Katz, K. U. & Katz, M. G. (2010). Zooming in on infinitesimal 1–.9. . . in a post-triumvirate era. Educational Studies in Mathematics, 74, 259–273. Vyhledej v Google Scholar

[19] Katz, V., Dorier, J. L., Bekken, O. & Sierpinska, A. (2000). The role of historical analysis in predicting and interpreting students’ difficulties in mathematics. In J. Fauvel & J. V. Maanen (Eds.), History in Mathematics Education (149–161). Dordrecht: Kluwer Academic Publisher. Vyhledej v Google Scholar

[20] Kidron, I. (2011). Tacit models, treasured intuitions and the discrete — continuous interplay. Educational Studies in Mathematics, 78, 109–126. Vyhledej v Google Scholar

[21] Kidron, I. & Tall, D. (2015). The roles of visualization and symbolism in the potential and actual infinity of the limit process. Educational Studies in Mathematics, 88, 183–199. Vyhledej v Google Scholar

[22] Krátká, M. (2005). A geometrical picture as an obstacle. In Proceedings of SEMT’05 (179–186). Praha: UK PedF. Vyhledej v Google Scholar

[23] Krátká, M. (2010). Zdroje epistemologických překážek v porozumění nekonečnu. Scientia in educatione, 1(1), 187–100. Vyhledej v Google Scholar

[24] Monaghan, J. (2001). Young people’s ideas of infinity. Educational Studies in Mathematics, 48, 239–257. Vyhledej v Google Scholar

[25] Piaget, J. (1977). The development of thought: Equilibration of cognitive structures. New York: The Viking Press. Vyhledej v Google Scholar

[26] Radford, L., Boero, P., & Vasco, C. (2000). Historical formation and student understanding of mathematics: Epistemological assumptions framing interpretations of students understanding of mathematics. In J. Fauvel & J. Van Maanen (Eds.), History in mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher. Vyhledej v Google Scholar

[27] Robinson, A. (1996). Nonstandard analysis. Princeton University Press. Vyhledej v Google Scholar

[28] Sierpinska, A. (1994). Understanding in mathematics. Washington, D.C.: The Falmer Press London. Vyhledej v Google Scholar

[29] Singer, F. M. & Voica, C. (2008). Between perception and intuition: Learning about infinity. The Journal of Mathematical Behavior, 27, 188–205. Vyhledej v Google Scholar

[30] Swan, M. (1983). Teaching decimal place value. A comparative study of conflict and positive only approaches. Nottingham: University of Nottingham, Shell Centre for Mathematical Education. Vyhledej v Google Scholar

[31] Tall, D. O. (1976). Conflicts and catastrophes in the learning of mathematics, Mathematical Education for Teaching, 2(4), 2–18. Vyhledej v Google Scholar

[32] Tall, D. O. (1977). Cognitive conflicts and the learning of mathematics. In Proceedings of PME 1, Utrecht. Vyhledej v Google Scholar

[33] Tall, D. O. (1991). The psychology of advanced mathematical thinking. In D. Tall (Ed.), Mathematics Education Library: Vol. 11 Advanced Mathematical Thinking (3–21). Dordrecht: Kluwer Academic Publisher. Vyhledej v Google Scholar

[34] Tall, D. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics, 48, 199–238. Vyhledej v Google Scholar

[35] Tall, D. O. (2009). Dynamic mathematics and the blending of knowledge structures in the calculus. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 41, 481–492. Vyhledej v Google Scholar

[36] Tall, D. & Tirosh, D. (2001). Infinity — the never-ending struggle. Educational Studies in Mathematics, 48, 129–136. Vyhledej v Google Scholar

[37] Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limit and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151–169. Vyhledej v Google Scholar

[38] Tsamir, P. (2001). When “The Same” is not perceived as such: The case of infinity sets. Educational Studies in Mathematics, 48, 289–307. Vyhledej v Google Scholar

[39] Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set of rational numbers: a conceptual chase approach. Learning and Instruction, 14, 453–467. Vyhledej v Google Scholar

[40] Vopěnka, P. (2011). Velká iluze matematiky XX. století a nové základy. Plzeň: Vydavatelství Západočeské univerzity v Plzni. Vyhledej v Google Scholar

[41] Yopp, D. A., Burroughs, E. A. & Lindaman, B. J. (2011). Why it is important for in-service elementary mathematics teachers to understand the equality .999 . . . = 1. Journal of Mathematical Behavior, 30, 304–318. Vyhledej v Google Scholar

Scientia in educatione

Pozice Omega – specifická fáze vnímání pojmu nekonečno

Jak citovat

Abstrakt

Reference

Stažení

Licence

Nejčtenější články stejného autora (stejných autorů)